Anexa nr. 1 - CALENDARUL. - Ordinul MEN nr. 4430/2014 - organizarea şi desfăşurarea examenului de bacalaureat naţional – 2015

Competențe specifice

Conținuturi asociate

1.1

dovedirea înțelegerii unui text literar sau nonliterar, pornind de la cerințe date

­ idei principale, idei secundare; ordinea logică și cronologică a ideilor/ a întâmplărilor dintr-un text;

­ moduri de expunere (narațiune, descriere, dialog, monolog);

­ subiectul operei literare;

­ procedee de expresivitate artistică în textele studiate (figuri de stil: personificarea, epitetul, comparația, repetiția, enumerația, antiteză, ingambament, metafora, aliterația);

­ sensul propriu și sensul figurat al unor cuvinte într-un context dat;

­ trăsăturile specifice genului epic și liric, în opere literare studiate sau în texte la prima vedere;

­ texte literare (aparținând diverselor genuri și specii studiate); texte nonliterare (texte publicitare, articolul de ziar/ de revistă, anunțul, știrea);

­ reperarea unor informații esențiale dintr-un text;

­ completarea unui text lacunar;

­ recunoașterea secvențelor narative și dialogate dintr-un text;

­ recunoașterea de cuvinte și expresii noi în text;

­ utilizarea unui lexic diversificat recurgând la categoriile semantice studiate.

1.2

sesizarea corectitudinii și a valorii expresive a categoriilor morfosintactice, a mijloacelor de îmbogățire a vocabularului și a categoriilor semantice studiate, a ortografiei și punctuației

Comunicarea scrisă

Organizarea textului scris. Părțile componente ale unei compuneri: introducerea, cuprinsul, încheierea. Organizarea unui text propriu (rezumat, caracterizare de personaj).

Ortografia și punctuația. Scrierea corectă a cuvintelor. Consoanele duble, diftongii, triftongii, apostroful, trunchierea.

Contexte de realizare:

a) Scrierea funcțională: scrisoarea, invitația. Analiza. Conspectul. Eseul structurat.

b) Scrierea imaginativă: compuneri libere după un plan dat. Eseul liber.

Scrierea despre textul literar sau nonliterar. Povestirea scrisă a unor fragmente din text. Comentarea unor secvențe. Semnificația titlului. Personajul literar.

Fonetică și ortografie:

Aspecte fonetice specifice limbii italiene: eliziunea și apostroful, accentul cuvintelor.

Lexic:

Mijloace de îmbogățire a lexicului: derivarea cu sufixe și prefixe; familii de cuvinte; expresii idiomatice; cuvinte compuse, arhaisme, neologisme;

Sinonime, antonime, omonime, cuvinte polisemantice;

Sensul denotativ și sensul conotativ al cuvintelor.

Gramatică

§ Articolul: hotărât, nehotărât și partitiv; folosirea articolului cu numele proprii de persoane și geografice;

§ Substantivul: formarea femininului; formarea pluralului; substantive defective; substantive cu două forme de plural; substantive colective; substantive invariabile; substantive defective de singular / plural; substantive compuse; substantive derivate cu un sufix diminutival, peiorativ, etc;

§ Adjectivul: formarea femininului adjectivelor calificative; poziția adjectivului calificativ; adjectivul demonstrativ; adjectivul posesiv și omiterea articolului în cazul posesivelor care însoțesc substantive indicând înrudirea; adjectivul nehotărât; gradele de comparație - forme sintetice;

§ Numeralul: cardinal, ordinal (formarea); folosirea numeralului ordinal (exprimarea secolelor); distributiv; colectiv, multiplicativ;

§ Pronumele personal în acuzativ cu și fără prepoziție; pronumele in dativ cu și fără prepoziție; pronumele relativ ; locul promumelor combinate cu în grupurile verbale, propoziția asertivă și imperativă; pronumele de politețe; pronumele demonstrativ; particulele pronominale ci, ne; pronumele posesiv; pronumele interogative; pronumele nehotărâte;

§ Verbul: indicativul prezent al verbelor regulate și neregulate; perfectul compus al verbelor regulate și neregulate; imperfectul verbelor regulate și neregulate; perfectul simplu al verbelor regulate și neregulate; viitorul simplu și viitorul anterior; condiționalul prezent și trecut; folosirea condiționalului; modul imperativul (tu, noi, voi); folosirea imperativului cu pronumele de politețe; conjunctivul prezent și trecut; conjunctivul imperfect și trapassato; concordanța timpurilor la modul indicativ; concordanța timpurilor la modul conjunctiv; fraza ipotetică; verbele frazeologice (cominciare, iniziare, finire, smettere); verbe tranzitive și intranzitive (alegerea auxiliarului); forma activă, pasivă și reflexivă; verbele modale (dovere, potere, volere); verbele impersonale; verbe defective;

§ Adverbul: formarea adverbelor din adjective cu sufixul "-mente"; adverbele de loc și de timp; adverbe de îndoială; adverbe de mod; adverbe interogative; adverbe de evaluare; locuțiuni adverbiale; particulele adverbiale ci, vi, ne; gradele adverbului; poziția adverbului;

§ Conjuncția: conjuncțiile coordonatoare; conjuncția subordonatoare; locuțiuni conjuncționale;

§ Prepoziția: folosirea prepozițiilor; prepoziții articulate; locuțiuni prepoziționale;

§ Interjecția: interjecții proprii (care exprimă uimirea, bucuria, amenințarea, îndemnul, regretul, indignarea): ah, eh, ih, oh, ahi, beh, uffa, ahime; interjecții improprii bravo, coraggio, avanti, via, su, forza, guai, peccato; locuțiuni;

§ Sintaxa: Propoziția simplă; Părți principale de propoziție (Subiectul; Predicatul); Părți secundare de propoziție (Atributul; Complementul direct și indirect; Complemente circumstanțiale: de loc, de timp, de mod, de cauză, de scop, concesie, opoziție);

§ Sintaxa frazei: Propoziția simplă; Propoziția condițională și fraza ipotetică; Concordanța în indicativ și conjunctiv.

1.3

identificarea valorilor etice și culturale într-un text, cu exprimarea impresiilor și preferințelor

- elemente etice și culturale în texte literare și nonliterare și exprimarea propriei atitudini față de acestea.

Competențe specifice

Conținuturi asociate

2.1

redactarea diverselor texte, cu scopuri și destinații diverse, adaptându-le la situația de comunicare concretă

- redactarea în scris de texte funcționale pe subiecte din viața cotidiană, mesaje, scrisori personale;

- redactarea de mesaje pe o anumită temă, urmărind un plan dat: pagină de jurnal personal, povestire, descriere;

- realizarea de texte, ținând seama de părțile componente ale unei compuneri, respectând categoriile semantice și regulile gramaticale studiante, folosind corect semnele ortografice și de punctuație;

- redarea în scris a unor informații receptate prin lectură;

- cartea - obiect cultural: teoria literară, destinatarul mesajului, structura textului narativ;

- descrierea obiectivă și subiectivă, dialogul, personajul (caracterizarea sumară - portret fizic și portret moral);

- structura prozodică (rimă, ritm, vers, strofă, vers liber);

- figurile de stil: personificarea, comparația, enumerarea, repetiția, epitetul, antiteza, metafora;

- sensul de bază, sensul auxiliar; sensul figurat;

- genuri și specii (genurile epic, liric și dramatic);

- textul: texte literare aparținând diverselor genuri și specii și textul nonliterar;

- redactare de mesaje;

- completare de texte lacunare;

- redactare de scrisori în registru familiar;

- construirea unor scurte povestiri;

- folosirea sinonimelor în scopul evitării repetițiilor;

- diferențierea semnificației sinonimelor în contexte diferite;

- folosirea corectă a părților de vorbire flexibile și neflexibile;

- folosirea corectă a formelor verbale în raport cu cronologia faptelor relatate;

- folosirea conectorilor adecvați;

- folosirea unor construcții verbale specifice pentru a spori expresivitatea comunicării;

- rezumare, substituire, transformare, alegere multiplă;

- identificarea structurii textului narativ;

- sesizarea schimbării semnificației unor cuvinte în funcție de context;

- stabilirea relațiilor de sinonimie, antonimie și polisemie într-un text dat;

- identificarea secvențelor într-un text narativ;

- structurarea unui text în secvențe distincte în funcție de tipul acestuia (rezumat, caracterizare de personaj, scrisoare etc.).

2.2

utilizarea în redactarea unui text propriu a cunoștințelor de lexic și de morfosintaxă, folosind adecvat semnele ortografice și de punctuație

­ elemente de lexic studiate în clasele a IX-a - a XII-a; mijloace de îmbogățire a lexicului;

­ folosirea corectă a semnelor de punctuație la nivelul propoziției și al frazei;

­ aplicarea adecvată a cunoștințelor de morfologie în exprimarea scrisă corectă: articolul, substantivul, adjectivul, numeralul, pronumele, verbul, adverbul, conjuncția, prepoziția, interjecția, sintaxa propoziției și a frazei.

Testo poetico

“Tanto gentile e tanto onesta pare"

Canto V dell’Inferno, La Divina Commedia

“Solo e pensoso"

“Erano i capei d’oro a l’aura sparso"

“Trionfo di Bacco e Arianna"

“I mi trovai, fanciulle, un bel mattino" da Le Rime

“L’apparizione di Angelica", Canto I di Orlando innamorato

“Orlando in cerca di Angelica", di Orlando Furioso

“Ermina fra i pastori", Canto VII di Gerusalemme liberata

“Alla sera"

“Il sabato del villaggio"

“La pioggia nel pineto"

“La mia sera"

“L’amica di nonna Speranza"

“San Martino del Carso"

“A mia moglie"

“Meriggiare pallido e assorto"

“Felicità raggiunta"

“Non chiederci la parola"

“Ed è subito sera"

“Alle fronde dei salici"

“Verrà la morte e avrà i tuoi occhi"

Dante Alighieri

Dante Alighieri

Francesco Petrarca

Francesco Petrarca

Lorenzo de’ Medici

Angelo Poliziano

Matteo Maria Boiardo

Ludovico Ariosto

Torquarto Tasso

Ugo Foscolo

Giacomo Leopardi

Giovanni Pascoli

Gabriele D’Annunzio

Guido Gozzano

Giuseppe Ungaretti

Umberto Saba

Eugenio Montale

Eugenio Montale

Eugenio Montale

Salvatore Quasimodo

Salvatore Quasimodo

Cesare Pavese

Testo narrativo (racconto)

“Federigo degli Alberighi" (V giornata, IX novella, Il Decameron)

“I promessi sposi" (frammenti)

“La lupa"

“Il treno ha fischiato"

“Agostino" (frammenti)

“Il colombre" da Racconti

Giovanni Boccaccio

Alessandro Manzoni

Giovanni Verga

Luigi Pirandello

Alberto Moravia

Dino Buzzati

Testo drammatico

“La Locandiera"(frammento)

Carlo Goldoni

Trattato

“Creazione dell’uomo" (De dignitae hominis)

Pico della Mirandola

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea, în limbaj cotidian sau în probleme de matematică, a unor noțiuni specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor

2. Utilizarea proprietăților operațiilor algebrice ale numerelor, a estimărilor și aproximărilor în contexte variate

3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale

4. Deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizând inducția matematică sau alte raționamente logice

5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor

6. Transpunerea unei situații-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

Mulțimi și elemente de logică matematică

• Mulțimea numerelor reale: operații algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracționară a unui număr real; operații cu intervale de numere reale

• Propoziție, predicat, cuantificatori

• Operații logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), corelate cu operațiile și cu relațiile dintre mulțimi (complementară, intersecție, reuniune, incluziune, egalitate); raționament prin reducere la absurd

• Inducția matematică

1. Recunoașterea unor corespondențe care sunt funcții, șiruri, progresii

2. Utilizarea unor modalități variate de descriere a funcțiilor în scopul caracterizării acestora

3. Descrierea unor șiruri/funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare și raționamentul inductiv

4. Caracterizarea unor șiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăți algebrice ale acestora

5. Analizarea unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcții definite pe N prin raționament de tip inductiv

6. Transpunerea unor situații-problemă în limbaj matematic utilizând funcții definite pe N

Șiruri

• Modalități de a defini un șir, șiruri mărginite, șiruri monotone

• Șiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcție de un termen dat și rație, suma primilor n termeni ai unei progresii

• Condiția ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n ≥ 3

1. Identificarea valorilor unei funcții folosind reprezentarea grafică a acesteia

2. Caracterizarea egalității a două funcții prin utilizarea unor modalități variate de descriere a funcțiilor

3. Operarea cu funcții reprezentate în diferite moduri și caracterizarea calitativă a acestor reprezentări

4. Caracterizarea unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin utilizarea graficelor acestora și a ecuațiilor asociate

5. Deducerea unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin lectură grafică

6. Analizarea unor situații practice și descrierea lor cu ajutorul funcțiilor

Funcții; lecturi grafice

• Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulțimi numerice; condiții algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x= m sau y=m, cu m∊ℝ

• Funcția: definiție, exemple, exemple de corespondențe care nu sunt funcții, modalități de a descrie o funcție, lecturi grafice. Egalitatea a două funcții, imaginea unei mulțimi printr-o funcție, graficul unei funcții, restricții ale unei funcții

• Funcții numerice (F = { ƒ:D → ℝ, D ⊆ ℝ}); reprezentarea geometrică a graficului: intersecția cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor ecuații și de forma ƒ(x)=g(x), (≤, <, >, ≥); proprietăți ale funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăți: paritate/imparitate, simetria graficului față de drepte de forma x=m, m∊ℝ, periodicitate

• Compunerea funcțiilor; exemple pe funcții numerice

1. Recunoașterea funcției de gradul I descrisă în moduri diferite

2. Utilizarea unor metode algebrice și grafice pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și sistemelor

3. Descrierea unor proprietăți desprinse din reprezentarea grafică a funcției de gradul I sau din rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și sistemelor de ecuații

4. Exprimarea legăturii între funcția de gradul I și reprezentarea ei geometrică

5. Interpretarea graficului funcției de gradul I utilizând proprietățile algebrice ale funcției

6. Modelarea unor situații concrete prin utilizarea ecuațiilor și/sau a inecuațiilor, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

Funcția de gradul I

• Definiție; reprezentarea grafică a funcției ƒ: ℝ→ℝ, ƒ(x)=ax+b, unde a,b∊ℝ, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația ƒ(x) = 0

• Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției: monotonia și semnul funcției; studiul monotoniei prin semnul diferenței ƒ(x₁)-f(x₂) (sau prin studierea semnului raportului

• Inecuații de forma ax+b≤0 (<,>,≥) studiate pe ℝ sau pe intervale de numere reale

• Poziția relativă a două drepte, sisteme de ecuații de tipul , a,b,c,m,n,p numere reale

• Sisteme de inecuații de gradul I

1. Diferențierea, prin exemple, a variației liniare de cea pătratică

2. Completarea unor tabele de valori pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea

3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4. Exprimarea proprietăților unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice

5. Utilizarea relațiilor lui Viete pentru caracterizarea soluțiilor ecuației de gradul al II- lea și pentru rezolvarea unor sisteme de ecuații

6. Utilizarea funcțiilor în rezolvarea unor probleme și în modelarea unor procese

Funcția de gradul al II-lea

• Reprezentarea grafică a funcției ƒ: ℝ→ℝ, cu ƒ(x)=ax²+bx+c, cu a,b,c∊ℝ și a≠0 intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația ƒ(x)=0, simetria față de drepte de forma x=m, cu m∊ℝ

• Relațiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma

1. Recunoașterea corespondenței dintre seturi de date și reprezentări grafice

2. Determinarea unor funcții care verifică anumite condiții precizate

3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și a sistemelor de ecuații și pentru reprezentarea grafică a soluțiilor acestora

4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiții algebrice; exprimarea prin condiții algebrice a unor reprezentări grafice

5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluțiilor ecuației asociate funcției de gradul al II-lea

6. Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări și strategii de optimizare

Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea

• Monotonie; studiul monotoniei prin semnul diferenței ƒ(x₁)- ƒ(x₂) sau prin rata creșterii/descreșterii:

punct de extrem, vârful parabolei

• Poziționarea parabolei față de axa Ox, semnul funcției, inecuații de forma ax² +bx + c ≤0 (≥,<,>), a,b,c∊ℝ, a≠0, studiate pe ℝ sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică:

imagini ale unor intervale (proiecțiile unor porțiuni de parabolă pe axa Oy)

• Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de , a,b,c,m,n∊ℝ

1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2. Transpunerea unor operații cu vectori în contexte geometrice date

3. Utilizarea operațiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică

4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie configurații geometrice

5. Identificarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice cerințe date

6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică

Vectori în plan

• Segment orientat, vectori, vectori coliniari

• Operații cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare; înmulțirea cu un scalar, proprietăți ale înmulțirii cu un scalar; condiția de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

1. Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăților unor configurații geometrice în plan

2. Caracterizarea sintetică sau/și vectorială a unei configurații geometrice date

3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurență sau paralelism

4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (și invers) într-o configurație geometrică dată

5. Interpretarea coliniarității, concurenței sau paralelismului în relație cu proprietățile sintetice sau vectoriale ale unor configurații geometrice

6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială și sintetică ale aceleiași probleme

Coliniaritate, concurență, paralelism - calcul vectorial în geometria plană

• Vectorul de poziție a unui punct

• Vectorul de poziție a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiții de paralelism)

• Vectorul de poziție a centrului de greutate al unui triunghi (concurența medianelor unui triunghi)

• Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva

1. Identificarea legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice și coordonate carteziene pe cercul trigonometric

2. Calcularea unor măsuri de unghiuri și arce utilizând relații trigonometrice

3. Determinarea măsurii unor unghiuri și a lungimii unor segmente utilizând relații metrice

4. Caracterizarea unor configurații geometrice plane utilizând calculul trigonometric

5. Determinarea unor proprietăți ale funcțiilor trigonometrice prin lecturi grafice

6. Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor

Elemente de trigonometrie

• Cercul trigonometric, definirea funcțiilor trigonometrice: sin: [0,2π] → [-1,1],

cos:

ctg: (0,π) →ℝ

• Definirea funcțiilor trigonometrice:

sin: ℝ→[-1,1], cos:ℝ→[-1,1], tg: ℝD→ℝ,cu , ctg: ℝ∖D→ℝ, cu

D={kπ︱k∊ℤ}

• Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin (a+b), sin (a-b), cos (a+b), cos (a-b), sin 2a , cos 2a, sin a + sin b , sin a - sin b, cos a + cos b , cos a - cos b (transformarea sumei în produs)

1. Identificarea unor metode posibile în rezolvarea problemelor de geometrie

2. Aplicarea unor metode diverse pentru determinarea unor distanțe, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii

3. Prelucrarea informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia

4. Analizarea unor configurații geometrice pentru alegerea algoritmilor de rezolvare

5. Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanțe, de măsuri de unghiuri și de arii

6. Modelarea unor configurații geometrice utilizând metode vectoriale sau sintetice

Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană

• Produsul scalar a doi vectori: definiție, proprietăți. Aplicații: teorema cosinusului, condiții de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic

• Aplicații vectoriale și trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare

• Calcularea razei cercului înscris și a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră și a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2. Determinarea echivalenței între forme diferite de scriere a unui număr, compararea și ordonarea numerelor reale

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule și rezolvarea de ecuații

4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în funcție de contexte în vederea optimizării calculelor

5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6. Determinarea unor analogii între proprietățile operațiilor cu numere reale sau complexe scrise în forme variate și utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuații

Mulțimi de numere

• Numere reale: proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raționale pentru numere reale

• Radical de ordin n (n∊ℕ și n≥2) dintr-un număr, proprietăți ale radicalilor

• Noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operația de logaritmare

• Mulțimea ℂ. Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operații cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operațiilor de adunare și de scădere a numerelor complexe și a înmulțirii acestora cu un număr real

• Rezolvarea în ℂ a ecuației de gradul al doilea având coeficienți reali. Ecuații bipătrate

1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcții

2. Prelucrarea informațiilor ilustrate prin graficul unei funcții în scopul deducerii unor proprietăți algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, convexitate)

3. Utilizarea de proprietăți ale funcțiilor în trasarea graficelor și în rezolvarea de ecuații

4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situații concrete și reprezentarea prin grafice a unor funcții care descriu situații practice

5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăților algebrice ale funcțiilor

6. Utilizarea echivalenței dintre bijectivitate și inversabilitate în trasarea unor grafice și în rezolvarea unor ecuații algebrice și trigonometrice

Funcții și ecuații

• Funcția putere cu exponent natural:

ƒ: ℝ→D,

ƒ(x)=xⁿ, n∊ℕ, n≥2 și funcția radical: ƒ:D→ℝ,

, n∊ℕ și n≥2, unde D=[0,+ ∞) pentru n par și D = ℝ pentru n impar

• Funcția exponențială: ƒ: ℝ→(0,+ ∞),

ƒ(x)=a^x, a∊(0,+ ∞), a≠1 și funcția logaritmică: ƒ:(0,+ ∞)→ ℝ, ƒ(x)=log_ax, a∊(0,+ ∞), a≠1

• Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcții inversabile: definiție, proprietăți grafice, condiția necesară și suficientă ca o funcție să fie inversabilă

• Funcții trigonometrice directe și inverse

• Rezolvări de ecuații folosind proprietățile funcțiilor:

1. Ecuații care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

2. Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice

3. Ecuații trigonometrice:

sin x = a, cos x = a, a∊[-l,l],

tg x = a, ctg x = a, a∊ℝ,

sin ƒ( x) = sin g( x), cos ƒ( x) = cos g( x),tg ƒ( x ) = tg g( x )^, ctg ƒ(x) = ctg g( ^x )

Notă: Pentru toate tipurile de funcții se vor studia: intersecția cu axele de coordonate, ecuația ƒ(x) = 0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăților algebrice ale funcțiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, convexitate.

1. Diferențierea problemelor în funcție de numărul de soluții admise

2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situații-problemă date

3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raționamente de tip inductiv

4. Exprimarea, în moduri variate, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5. Interpretarea unor situații-problemă având conținut practic cu ajutorul funcțiilor și a elementelor de combinatorică

6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situații practice în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare

• Mulțimi finite ordonate. Numărul funcțiilor ƒ: A→B, unde A și B sunt mulțimi finite

• Permutări

- numărul de mulțimi ordonate care se obțin prin ordonarea unei mulțimi finite cu n elemente

- numărul funcțiilor bijective ƒ: A→B, unde A și B sunt mulțimi finite

• Aranjamente

- numărul submulțimilor ordonate cu câte k elemente fiecare, k≤n, care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulțimi finite

- numărul funcțiilor injective ƒ: A→B, unde A și B sunt mulțimi finite

• Combinări - numărul submulțimilor cu câte k elemente, unde 0≤k≤n, ale unei mulțimi finite cu n elemente. Proprietăți: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu n elemente

• Binomul lui Newton

1. Recunoașterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situații concrete

2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor și al diagramelor

3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităților pentru analiza de caz

4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5. Analizarea și interpretarea unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicției comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situații studiate

Matematici financiare

• Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

• Culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice

• Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie

• Evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă: Aplicațiile vor fi din domeniul financiar: profit, preț de cost al unui produs, amortizări de investiții, tipuri de credite, metode de finanțare, buget personal, buget familial.

1. Descrierea unor configurații geometrice analitic sau utilizând vectori

2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relațiilor de paralelism și de perpendicularitate

3. Utilizarea informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia și calcularea unor distanțe și a unor arii

4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configurații geometrice

5. Interpretarea perpendicularității în relație cu paralelismul și minimul distanței

6. Modelarea unor configurații geometrice analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie

• Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan

• Ecuații ale dreptei în plan determinate de un punct și de o direcție dată și ale dreptei determinate de două puncte distincte

• Condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte din plan; calcularea unor distanțe și a unor arii

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3. Aplicarea algoritmilor de calcul în situații practice

4. Rezolvarea unor ecuații și sisteme utilizând algoritmi specifici

5. Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE

Permutări

• Noțiunea de permutare, operații, proprietăți

• Inversiuni, semnul unei permutări

Matrice

• Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice

• Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți

Determinanți

• Determinant de ordin n, proprietăți

Sisteme de ecuații liniare

• Matrice inversabile din M_n(ℂ), n ≤4

• Ecuații matriceale

• Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice

• Studiul compatibilității și rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli, proprietatea Rouchè, metoda Gauss

• Aplicații: ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și coliniaritatea a trei puncte în plan

1. Caracterizarea unor șiruri și a unor funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2. Interpretarea unor proprietăți ale șirurilor și ale altor funcții cu ajutorul reprezentărilor grafice

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme și modelarea unor procese

4. Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăți cantitative și/sau calitative ale unei funcții

5. Studierea unor funcții din punct de vedere cantitativ și/sau calitativ utilizând diverse procedee: majorări sau minorări pe un interval dat, proprietăți algebrice și de ordine ale mulțimii numerelor reale în studiul calitativ local, utilizare a reprezentării grafice a unei funcții pentru verificarea unor rezultate și/sau pentru identificarea unor proprietăți

6. Explorarea unor proprietăți cu caracter local și/sau global ale unor funcții utilizând reprezentarea grafică, continuitatea sau derivabilitatea

Note:

- În introducerea noțiunilor de limită a unui șir într-un punct și de șir convergent nu se vor introduce definițiile cu ɛ și nici teorema de convergență cu ɛ .

- Se utilizează exprimarea "proprietatea lui ...", "regula lui ...", pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonstrație este în afara programei.

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Limite de funcții

• Noțiuni elementare despre mulțimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăți, dreapta încheiată, simbolurile +∞ și -∞

• Funcții reale de variabilă reală: funcția polinomială, funcția rațională, funcția putere, funcția radical, funcția logaritm, funcția exponențială, funcții trigonometrice directe și inverse

• Limita unui șir utilizând vecinătăți, șiruri convergente

• Monotonie, mărginire, limite; proprietatea lui Weierstrass. Exemple semnificative: (aⁿ)_n ,

(fără demonstrație), numărul e; limita șirului

pentru orice număr natural n

• Operații cu șiruri care au limită

• Limite de funcții: interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct utilizând vecinătăți, limite laterale

• Calculul limitelor pentru funcțiile studiate; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcții:

• Asimptotele graficului funcțiilor studiate: asimptote verticale, oblice

Continuitate

• Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuității unei funcții, studiul continuității în puncte de pe dreapta reală pentru funcțiile studiate, operații cu funcții continue

• Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale, studiul existenței soluțiilor unor ecuații în ℝ

Derivabilitate

• Tangenta la o curbă, derivata unei funcții într-un punct, funcții derivabile, operații cu funcții derivabile, calculul derivatelor de ordin I și al II- lea pentru funcțiile studiate

• Funcții derivabile pe un interval: puncte de extrem ale unei funcții, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange și interpretarea lor geometrică, corolarul teoremei lui Lagrange referitor la derivata unei funcții într-un punct

• Rolul derivatei I în studiul funcțiilor: monotonia funcțiilor, puncte de extrem

• Rolul derivatei a II-a în studiul funcțiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune

• Regulile lui l’Hospital

Reprezentarea grafică a funcțiilor

• Reprezentarea grafică a funcțiilor

• Rezolvarea grafică a ecuațiilor, utilizarea reprezentării grafice a funcțiilor în determinarea numărului de soluții ale unei ecuații

• Reprezentarea grafică a conicelor (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă)

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea proprietăților operațiilor cu care este înzestrată o mulțime

2. Evidențierea asemănărilor și a deosebirilor dintre proprietățile unor operații definite pe mulțimi diferite și dintre calculul polinomial și cel cu numere

3.1. Determinarea și verificarea proprietăților structurilor algebrice, inclusiv verificarea faptului că o funcție dată este morfism sau izomorfism

3.2. Folosirea descompunerii în factori a polinomelor, în probleme de divizibilitate și în rezolvări de ecuații

4. Utilizarea unor proprietăți ale operațiilor în calcule specifice unei structuri algebrice

5.1. Utilizarea unor proprietăți ale structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme de aritmetică

5.2. Determinarea unor polinoame, funcții polinomiale sau ecuații algebrice care verifică condiții date

6.1. Transferarea, între structuri izomorfe, a datelor inițiale și a rezultatelor, pe baza proprietăților operațiilor

6.2. Modelarea unor situații practice, utilizând noțiunea de polinom sau de ecuație algebrică

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

Grupuri

• Lege de compoziție internă (operație algebrică), tabla operației, parte stabilă

• Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n

• Subgrup

• Grup finit, tabla operației, ordinul unui element

• Morfism, izomorfism de grupuri

Inele și corpuri

• Inel, exemple: inele numerice (ℤ, ℚ, ℝ, ℂ), ℤ_n, inele de matrice, inele de funcții reale

• Corp, exemple: corpuri numerice (ℚ, ℝ, ℂ), ℤ_p, p prim

• Morfisme de inele și de corpuri

Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ (ℚ, ℝ, ℂ, ℤ_p, p prim)

• Forma algebrică a unui polinom, funcția polinomială, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar)

• Teorema împărțirii cu rest; împărțirea polinoamelor, împărțirea cu X - a, schema lui Horner

• Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout; c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili

• Rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viète

• Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, ecuații binome, ecuații bipătrate, ecuații reciproce

1. Identificarea legăturilor dintre o funcție continuă și derivata sau primitiva acesteia

2. Identificarea unor metode de calcul ale integralelor, prin realizarea de legături cu reguli de derivare

3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4. Explicarea opțiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluțiilor

5. Folosirea proprietăților unei funcții continue, pentru calcularea integralei acesteia pe un interval

6.1.Utilizarea proprietăților de monotonie a integralei în estimarea valorii unei integrale definite și în probleme cu conținut practic

6.2. Modelarea comportării unei funcții prin utilizarea primitivelor sale

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

• Probleme care conduc la noțiunea de integrală

Primitive (antiderivate)

• Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții, proprietăți ale integralei nedefinite, liniaritate. Primitive uzuale

Integrala definită

• Diviziuni ale unui interval [a, b], norma unei diviziuni, sistem de puncte intermediare, sume Riemann, interpretare geometrică. Definiția integrabilității unei funcții pe un interval [a, b]

• Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare.

• Formula Leibniz - Newton

• Integrabilitatea funcțiilor continue, teorema de medie, interpretare geometrică, teorema de existență a primitivelor unei funcții continue

• Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma

, grad Q≤4 prin metoda descompunerii în fracții simple

Aplicații ale integralei definite

• Aria unei suprafețe plane

• Volumul unui corp de rotație

• Calculul unor limite de șiruri folosind integrala definită

Notă: Se utilizează exprimarea "proprietate" sau "regulă", pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonstrație este în afara programei.

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea, în limbaj cotidian sau în probleme de matematică, a unor noțiuni specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor

2. Utilizarea proprietăților operațiilor algebrice ale numerelor, a estimărilor și aproximărilor în contexte variate

3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale

4. Deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizând inducția matematică sau alte raționamente logice

5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor

6. Transpunerea unei situații-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

Mulțimi și elemente de logică matematică

• Mulțimea numerelor reale: operații algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracționară a unui număr real; operații cu intervale de numere reale

• Propoziție, predicat, cuantificatori

• Operații logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), corelate cu operațiile și cu relațiile dintre mulțimi (complementară, intersecție, reuniune, incluziune, egalitate); raționament prin reducere la absurd

• Inducția matematică

1. Recunoașterea unor corespondențe care sunt funcții, șiruri, progresii

2. Utilizarea unor modalități variate de descriere a funcțiilor în scopul caracterizării acestora

3. Descrierea unor șiruri/funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare și raționamentul inductiv

4. Caracterizarea unor șiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăți algebrice ale acestora

5. Analizarea unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcții definite pe N prin raționament de tip inductiv

6. Transpunerea unor situații-problemă în limbaj matematic utilizând funcții definite pe ℕ

Șiruri

• Modalități de a defini un șir, șiruri mărginite, șiruri monotone

• Șiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcție de un termen dat și rație, suma primilor n termeni ai unei progresii

• Condiția ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru _n≥3

1. Identificarea valorilor unei funcții folosind reprezentarea grafică a acesteia

2. Caracterizarea egalității a două funcții prin utilizarea unor modalități variate de descriere a funcțiilor

3. Operarea cu funcții reprezentate în diferite moduri și caracterizarea calitativă a acestor reprezentări

4. Caracterizarea unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin utilizarea graficelor acestora și a ecuațiilor asociate

5. Deducerea unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin lectură grafică

6. Analizarea unor situații practice și descrierea lor cu ajutorul funcțiilor

Funcții; lecturi grafice

• Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulțimi numerice; condiții algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma _{x = m} sau _{y = m}, cu _m∊ℝ

• Funcția: definiție, exemple, exemple de corespondențe care nu sunt funcții, modalități de a descrie o funcție, lecturi grafice. Egalitatea a două funcții, imaginea unei mulțimi printr-o funcție, graficul unei funcții, restricții ale unei funcții

• Funcții numerice (F = {ƒ:D→ℝ, D⊆ℝ});

reprezentarea geometrică a graficului: intersecția cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor ecuații și inecuații de forma ƒ(x) = g(x), (≤, <, >, ≥); proprietăți ale funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăți: paritate/imparitate, simetria graficului față de drepte de forma x=m, m∊ℝ, periodicitate

• Compunerea funcțiilor; exemple pe funcții numerice

1. Recunoașterea funcției de gradul I descrisă în moduri diferite

2. Utilizarea unor metode algebrice și grafice pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și sistemelor de ecuații

3. Descrierea unor proprietăți desprinse din reprezentarea grafică a funcției de gradul I sau din rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și sistemelor de ecuații

4. Exprimarea legăturii între funcția de gradul I și reprezentarea ei geometrică

5. Interpretarea graficului funcției de gradul I utilizând proprietățile algebrice ale funcției

6. Modelarea unor situații concrete prin utilizarea ecuațiilor și/sau a inecuațiilor, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

Funcția de gradul I

• Definiție; reprezentarea grafică a funcției ƒ: ℝ→ℝ, ƒ(x)=ax+b, unde a,b∊R, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația ƒ(x)=0

• Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției: monotonia și semnul funcției; studiul monotoniei prin semnul diferenței ƒ(x₁)-ƒ(x₂) (sau prin studierea semnului raportului

, x₁, x₂∊ℝ, x₁≠ x ₂

• Inecuații de forma ax+b≤0 (<,>,≥) studiate pe ℝ sau pe intervale de numere reale

• Poziția relativă a două drepte, sisteme de ecuații de tipul , a, b, c, m, n, p ∊ ℝ

• Sisteme de inecuații de gradul I

1. Diferențierea, prin exemple, a variației liniare de cea pătratică

2. Completarea unor tabele de valori pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea

3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4. Exprimarea proprietăților unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice

5. Utilizarea relațiilor lui Viete pentru caracterizarea soluțiilor ecuației de gradul al II- lea și pentru rezolvarea unor sisteme de ecuații

6. Utilizarea funcțiilor în rezolvarea unor probleme

și în modelarea unor procese

Funcția de gradul al II-lea

• Reprezentarea grafică a funcției ƒ: ℝ→ℝ, ƒ(x)=ax²+bx+c, cu a,b,c ∊ ℝ și a≠0, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația ƒ(x)=0, simetria față de drepte de forma x=m, cu m∊ℝ

• Relațiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma

1. Recunoașterea corespondenței dintre seturi de date și reprezentări grafice

2. Determinarea unor funcții care verifică anumite condiții precizate

3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și a sistemelor de ecuații și pentru reprezentarea grafică a soluțiilor acestora

4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiții algebrice; exprimarea prin condiții algebrice a unor reprezentări grafice

5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluțiilor ecuației asociate funcției de gradul al II-lea

6. Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări și strategii de optimizare

Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea

• Monotonie; studiul monotoniei prin semnul diferenței ƒ(x₁)-ƒ(x₂) sau prin rata creșterii/descreșterii: ,x₁,x₂∊ℝ, x_l≠x₂, punct de extrem, vârful parabolei

• Poziționarea parabolei față de axa Ox, semnul funcției, inecuații de forma ax²+bx+c≤0, (≥,<,>), a, b, c ∊ℝ,a≠0, studiate pe ℝ sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini ale unor intervale (proiecțiile unor porțiuni de parabolă pe axa Oy)

• Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de forma , a,b,c,m,n∊ℝ

1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2. Transpunerea unor operații cu vectori în contexte geometrice date

3. Utilizarea operațiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică

4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie configurații geometrice

5. Identificarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice cerințe date

6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică

Vectori în plan

• Segment orientat, vectori, vectori coliniari

• Operații cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare; înmulțirea cu un scalar, proprietăți ale înmulțirii cu un scalar; condiția de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

1. Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăților unor configurații geometrice în plan

2. Caracterizarea sintetică sau/și vectorială a unei configurații geometrice date

3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurență sau paralelism

4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (și invers) într-o configurație geometrică dată

5. Interpretarea coliniarității, concurenței sau paralelismului în relație cu proprietățile sintetice sau vectoriale ale unor configurații geometrice

6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială și sintetică ale aceleiași probleme

Coliniaritate, concurență, paralelism - calcul vectorial în geometria plană

• Vectorul de poziție a unui punct

• Vectorul de poziție a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiții de paralelism)

• Vectorul de poziție a centrului de greutate al unui triunghi (concurența medianelor unui triunghi)

• Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva

1. Identificarea legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice și coordonate carteziene pe cercul trigonometric

2. Calcularea unor măsuri de unghiuri și arce utilizând relații trigonometrice

3. Determinarea măsurii unor unghiuri și a lungimii unor segmente utilizând relații metrice

4. Caracterizarea unor configurații geometrice plane utilizând calculul trigonometric

5. Determinarea unor proprietăți ale funcțiilor trigonometrice prin lecturi grafice

6. Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor

Elemente de trigonometrie

• Cercul trigonometric, definirea funcțiilor trigonometrice: sin: [0,2 Π] → [-1,1],

cos: [0,2 Π] → [-1,1], tg: ,ctg: (0,2 Π) →ℝ

• Definirea funcțiilor trigonometrice:

sin: ℝ → [-1,1], cos: ℝ → [-1,1], tg: ℝD→ℝ,

cu,, ctg: ℝD →ℝ, cu D = {k Π￨k∊ℤ}

• Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin(a+b), sin(a-b), cos (a+b), cos (a-b), sin 2a, cos 2a, sin a + sin b, sin a - sin b, cos a + cos b , cos a - cos b (transformarea sumei în produs)

1. Identificarea unor metode posibile în rezolvarea problemelor de geometrie

2. Aplicarea unor metode diverse pentru determinarea unor distanțe, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii

3. Prelucrarea informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia

4. Analizarea unor configurații geometrice pentru alegerea algoritmilor de rezolvare

5. Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanțe, de măsuri de unghiuri și de arii

6. Modelarea unor configurații geometrice utilizând metode vectoriale sau sintetice

Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană

• Produsul scalar a doi vectori: definiție, proprietăți. Aplicații: teorema cosinusului, condiții de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic

• Aplicații vectoriale și trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare

• Calcularea razei cercului înscris și a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră și a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2. Determinarea echivalenței între forme diferite de scriere a unui număr, compararea și ordonarea numerelor reale

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule și în rezolvarea de ecuații

4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în funcție de contexte în vederea optimizării calculelor

5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6. Determinarea unor analogii între proprietățile operațiilor cu numere reale sau complexe scrise în forme variate și utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuații

Mulțimi de numere

• Numere reale: proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raționale pentru numere reale

• Radical de ordin n (n∊ℕ și n≥2) dintr-un număr, proprietăți ale radicalilor

• Noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operația de logaritmare

• Mulțimea ℂ. Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operații cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operațiilor de adunare și de scădere a numerelor complexe și a înmulțirii acestora cu un număr real

• Rezolvarea în ℂ a ecuației de gradul al doilea având coeficienți reali. Ecuații bipătrate

1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcții

2. Prelucrarea informațiilor ilustrate prin graficul unei funcții în scopul deducerii unor proprietăți algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, convexitate)

3. Utilizarea de proprietăți ale funcțiilor în trasarea graficelor și rezolvarea de ecuații

4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situații concrete și reprezentarea prin grafice a unor funcții care descriu situații practice

5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăților algebrice ale funcțiilor

6. Utilizarea echivalenței dintre bijectivitate și inversabilitate în trasarea unor grafice și în rezolvarea unor ecuații algebrice și trigonometrice

Funcții și ecuații

• Funcția putere cu exponent natural: ƒ: ℝ→D, ƒ(x)=xⁿ, n∊ℕ și n≥2 și funcția radical: ƒ:D→ℝ, ƒ(x)= , n∊ℕ și n≥2, unde D=[0,+∞) pentru n par și D=ℝ pentru n impar

• Funcția exponențială: ƒ:ℝ→(0,+∞), ƒ(x)=a^x, a∊(0,+∞), a≠1 și funcția logaritmică: ƒ:(0,+∞) →ℝ, ƒ(x)=log_ax, a∊(0,+∞), a≠1

• Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcții inversabile: definiție, proprietăți grafice, condiția necesară și suficientă ca o funcție să fie inversabilă

• Funcții trigonometrice directe și inverse

• Rezolvări de ecuații folosind proprietățile funcțiilor:

1. Ecuații care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

2. Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice

3. Ecuații trigonometrice:

sin x=a, cos x=a, a∊[-l,l],

tg x=a, ctg x=a, a∊ℝ,

sin ƒ(x)=sin g(x), cos ƒ(x)=cos g(x),

tg ƒ(x)=tg g(x), ctg ƒ(x)=ctg g(x)

Notă: Pentru toate tipurile de funcții se vor studia: intersecția cu axele de coordonate, ecuația ƒ(x)=0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăților algebrice ale funcțiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, convexitate

1. Diferențierea problemelor în funcție de numărul de soluții admise

2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situații-problemă date

3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raționamente de tip inductiv

4. Exprimarea, în moduri diferite, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5. Interpretarea unor situații-problemă având conținut practic cu ajutorul funcțiilor și a elementelor de combinatorică

6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situații practice în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare

• Mulțimi finite ordonate. Numărul funcțiilor ƒ:A→B, unde A și B sunt mulțimi finite

• Permutări

- numărul de mulțimi ordonate care se obțin prin ordonarea unei mulțimi finite cu n elemente

- numărul funcțiilor bijective ƒ: A→B, unde A și B sunt mulțimi finite

• Aranjamente

- numărul submulțimilor ordonate cu câte k elemente fiecare, k≤n, care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulțimi finite

- numărul funcțiilor injective ƒ: A→B, unde A și B sunt mulțimi finite

• Combinări - numărul submulțimilor cu câte k elemente, unde 0 ≤ k ≤ n, ale unei mulțimi finite cu n elemente. Proprietăți: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu n elemente

• Binomul lui Newton

1. Recunoașterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situații concrete

2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor și al diagramelor

3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităților pentru analiza de caz

4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5. Analizarea și interpretarea unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicției comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situații studiate

Matematici financiare

• Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

• Culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice

• Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie

• Evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă: Aplicațiile vor fi din domeniul financiar: profit, preț de cost al unui produs, amortizări de investiții, tipuri de credite, metode de finanțare, buget personal, buget familial.

1. Descrierea unor configurații geometrice analitic sau utilizând vectori

2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relațiilor de paralelism și de perpendicularitate

3. Utilizarea informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia și calcularea unor distanțe și a unor arii

4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configurații geometrice

5. Interpretarea perpendicularității în relație cu paralelismul și minimul distanței

6. Modelarea unor configurații geometrice analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie

• Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan

• Ecuații ale dreptei în plan determinate de un punct și de o direcție dată și ale dreptei determinate de două puncte distincte

• Condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte din plan; calcularea unor distanțe și a unor arii

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în situații practice

4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici

5. Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE

Matrice

• Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice

• Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți

Determinanți

• Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăți

Sisteme de ecuații liniare

• Matrice inversabile din

• Ecuații matriceale

• Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar

• Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare

• Aplicații: ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și coliniaritatea a trei puncte în plan

1. Caracterizarea unor funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2. Interpretarea unor proprietăți ale funcțiilor cu ajutorul reprezentărilor grafice

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme

4. Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăți cantitative și/sau calitative ale unei funcții

5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcții pentru verificarea unor rezultate și pentru identificarea unor proprietăți

6. Determinarea unor optimuri situaționale prin aplicarea calculului diferențial în probleme practice

Elemente de analiză matematică

Limite de funcții

• Noțiuni elementare despre mulțimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăți, dreapta încheiată, simbolurile +∞ și -∞

• Limite de funcții: interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct utilizând vecinătăți, limite laterale

• Calculul limitelor pentru funcția de gradul I, funcția de gradul al II-lea, funcția logaritmică, exponențială, funcția putere , funcția radical , funcția raport de două funcții cu grad cel mult 2; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcții:,,0. ∞

• Asimptotele graficului funcțiilor studiate: asimptote verticale, orizontale și oblice

Funcții continue

• Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuității unei funcții, operații cu funcții continue

• Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale

Funcții derivabile

• Tangenta la o curbă. Derivata unei funcții într-un punct, funcții derivabile

• Operații cu funcții derivabile, calculul derivatelor de ordin I și al II-lea pentru funcțiile studiate

• Regulile lui l’Hospital pentru cazurile ,

Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor

• Rolul derivatelor de ordin I și de ordinul al II-lea în studiul funcțiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate

• Reprezentarea grafică a funcțiilor

Notă:

- Se utilizează exprimarea "proprietatea lui ...", "regula lui ...", pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonstrație este în afara programei.

Competențe specifice

Conținuturi

1. Recunoașterea structurilor algebrice, a mulțimilor de numere, de polinoame și de matrice

2.1. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăților acesteia

2.2. Determinarea și verificarea proprietăților unei structuri

3.1.Verificarea faptului că o funcție dată este morfism sau izomorfism

3.2 .Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuațiilor algebrice

4. Explicarea modului în care sunt utilizate, în calcule specifice, proprietățile operațiilor unei structuri algebrice

5.1.Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea de probleme practice

5.2.Determinarea unor polinoame sau ecuații algebrice care îndeplinesc condiții date

6.1.Exprimarea unor probleme practice, folosind structuri algebrice sau calcul polinomial

6.2.Aplicarea, prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

Grupuri

• Lege de compoziție internă, tabla operației

• Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n

• Morfism și izomorfism de grupuri

Inele și corpuri

• Inel, exemple: inele numerice (ℤ, ℚ, ℝ, ℂ ), ℤ_n inele de matrice, inele de funcții reale

• Corp, exemple: corpuri numerice (ℚ, ℝ, ℂ), ℤ_p,p prim

Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ (ℚ, ℝ, ℂ, ℤ_p,p prim)

• Forma algebrică a unui polinom, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar)

• Teorema împărțirii cu rest; împărțirea polinoamelor, împărțirea cu X-a, schema lui Horner

• Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout; c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili

• Rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viete pentru polinoame de grad cel mult 4

• Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, ecuații binome, ecuații bipătrate, ecuații reciproce

1. Identificarea legăturilor dintre o funcție continuă și derivata sau primitiva acesteia

2. Stabilirea unor proprietăți ale calculului integral, prin analogie cu proprietăți ale calculului diferențial

3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4. Explicarea opțiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluțiilor

5. Determinarea ariei unei suprafețe plane și a volumului unui corp, folosind calculul integral și compararea rezultatelor cu cele obținute prin aplicarea unor formule cunoscute din geometrie

6. Aplicarea calculului diferențial sau integral în probleme practice

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

• Probleme care conduc la noțiunea de integrală Primitive (antiderivate)

• Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale

Integrala definită

• Definirea integralei Riemann a unei funcții continue prin formula Leibniz-Newton

• Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare

• Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma , grad Q≤4 prin metoda descompunerii în fracții simple

Aplicații ale integralei definite

• Aria unei suprafețe plane

• Volumului unui corp de rotație

Notă: Se utilizează exprimarea "proprietate" sau "regulă" pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonstrație este în afara programei.

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme de matematică a unor noțiuni specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor

2. Reprezentarea adecvată a mulțimilor și a operațiilor logice în scopul identificării unor proprietăți ale acestora

3. Alegerea și utilizarea de algoritmi pentru efectuarea unor operații cu numere reale, cu mulțimi, cu propoziții/predicate

4. Deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizând inducția matematică sau alte raționamente logice

5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor

6. Transpunerea unei situații-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

Mulțimi și elemente de logică matematică

• Mulțimea numerelor reale: operații algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos; operații cu intervale de numere reale

• Propoziție, predicat, cuantificatori

• Operații logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), corelate cu operațiile și cu relațiile dintre mulțimi (complementară, intersecție, reuniune, incluziune, egalitate)

• Inducția matematică

1. Recunoașterea unor corespondențe care sunt șiruri, progresii aritmetice sau geometrice

2. Calcularea valorilor unor șiruri care modelează situații practice în scopul caracterizării acestora

3. Alegerea și utilizarea unor modalități adecvate de calculare a elementelor unui șir

4. Interpretarea grafică a unor relații provenite din probleme practice

5. Analizarea datelor în vederea aplicării unor formule de recurență sau a raționamentului de tip inductiv în rezolvarea problemelor

6. Analizarea și adaptarea scrierii termenilor unui șir în funcție de context

Șiruri

• Modalități de a descrie un șir; șiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, determinarea termenului general al unei progresii; suma primilor n termeni ai unei progresii

• Condiția ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n≥3

1. Identificarea valorilor unei funcții folosind reprezentarea grafică a acesteia

2. Determinarea soluțiilor unor ecuații, inecuații utilizând reprezentările grafice

3. Alegerea și utilizarea unei modalități adecvate de reprezentare grafică în vederea evidențierii unor proprietăți ale funcțiilor

4. Exprimarea monotoniei unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice

5. Reprezentarea geometrică a graficului unei funcții prin puncte și aproximarea acestuia printr-o curbă continuă

6. Deducerea unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin lectură grafică

Funcții; lecturi grafice

• Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulțimi numerice; condiții algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x=m sau de forma y=m, m∊ℝ

• Funcția: definiție, exemple, exemple de corespondențe care nu sunt funcții, modalități de a descrie o funcție, egalitatea a două funcții, imaginea unei funcții

• Funcții numerice ƒ:I→ℝ, I interval de numere reale; graficul unei funcții, reprezentarea geometrică a graficului, intersecția graficului cu axele de coordonate, interpretarea grafică a unor ecuații de forma ƒ(x)=g(x); proprietăți ale funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie, paritate/imparitate (simetria graficului față de axa Oy sau origine), periodicitate

• Compunerea funcțiilor; exemple de funcții numerice

1. Recunoașterea funcției de gradul I descrisă în moduri diferite

2. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor, sistemelor de ecuații

3. Descrierea unor proprietăți desprinse din reprezentarea grafică a funcției de gradul I sau din rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor, sistemelor de ecuații

4. Exprimarea legăturii între funcția de gradul I și reprezentarea ei geometrică

5. Interpretarea graficului funcției de gradul I utilizând proprietățile algebrice ale funcției

6. Rezolvarea cu ajutorul funcțiilor a unei situații-problemă și interpretarea rezultatului

Funcția de gradul I

• Definiție; reprezentarea grafică a funcției ƒ:ℝ→ℝ, ƒ(x)=ax+b, unde a,b∊ℝ, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația f(x)=0

• Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției: monotonie, semnul funcției

• Inecuații de forma ax+b≤0 (<,>,≥), a,b∊ℝ, studiate pe ℝ

• Poziția relativă a două drepte, sisteme de tipul a,b,c,m,n,p numere reale

1. Diferențierea, prin exemple, a variației liniare de cea pătratică

2. Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea

3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4. Exprimarea proprietăților unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice

5. Utilizarea relațiilor lui Viete pentru caracterizarea soluțiilor ecuației de gradul al II- lea și pentru rezolvarea unor sisteme de ecuații

6. Identificarea unor metode grafice de rezolvare a ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații

Funcția de gradul al II-lea

• Reprezentarea grafică a funcției ƒ: ℝ→ℝ, ƒ(x)=ax²+bx+c cu a,b,c∊ℝ și a≠0, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația ƒ(x) = 0, simetria față de drepte de forma x=m cu m∊ℝ

• Relațiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma

, cu s,p∊ℝ

1. Recunoașterea corespondenței dintre seturi de date și reprezentări grafice

2. Reprezentarea grafică a unor date diverse în vederea comparării variației lor

3. Aplicarea formulelor de calcul și a lecturii grafice pentru rezolvarea de ecuații, inecuații și sisteme de ecuații

4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiții algebrice; exprimarea prin condiții algebrice a unor reprezentări grafice

5. Determinarea unor relații între condiții algebrice date și graficul funcției de gradul al II-lea

6. Utilizarea monotoniei și a punctelor de extrem în optimizarea rezultatelor unor probleme practice

Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea

• Monotonie; punct de extrem, vârful parabolei, interpretare geometrică

• Poziționarea parabolei față de axa Ox, semnul funcției, inecuații de forma ax²+bx+c≤0 (≥,<,>), a,b,c∊ℝ, a≠0 interpretare geometrică

• Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de forma

cu a,b,c,m,n∊ℝ, interpretare geometrică

1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2. Aplicarea regulilor de calcul pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe configurații date

3. Utilizarea operațiilor cu vectori pentru a descrie configurații geometrice date

4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie anumite configurații geometrice

5. Identificarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice cerințe date

6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme din domenii conexe

Vectori în plan

• Segment orientat, vectori, vectori coliniari

• Operații cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare; înmulțirea cu un scalar, proprietăți ale înmulțirii cu un scalar; condiția de coliniaritate, descompunerea după doi vectori

1. Identificarea elementelor necesare pentru calcularea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri

2. Utilizarea unor tabele și formule pentru calcule în trigonometrie și în geometrie

3. Determinarea măsurii unor unghiuri și a lungimii unor segmente utilizând relații metrice

4. Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei și geometriei a unor probleme practice

5. Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului oarecare

6. Analizarea și interpretarea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor probleme practice

Trigonometrie și aplicații ale trigonometriei în geometrie

• Rezolvarea triunghiului dreptunghic

• Cercul trigonometric, definirea funcțiilor trigonometrice:

sin: [0,2Π]→[-1,1], cos: [0,2 Π]→[-1,1], tg:→ℝ, ctg:(0,Π)→ℝ

• Definirea funcțiilor trigonometrice: sin: ℝ→[-1,1], cos: ℝ→ [-1,1],

tg: ℝD→ℝ,cu ,

ctg: ℝD→ℝ, cu D= {kΠ|k∊ℤ}

• Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin (a+b), sin (a-b), cos (a+b), cos (a-b), sin 2a , cos2a,

• Modalități de calcul a lungimii unui segment și a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor și teorema cosinusului

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră și a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2. Compararea și ordonarea numerelor reale utilizând metode variate

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali, logaritmi în contexte variate

4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real în vederea optimizării calculelor

5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6. Determinarea unor analogii între proprietățile operațiilor cu numere reale scrise în forme variate și utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuații

Mulțimi de numere

• Numere reale: proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul

• Media aritmetică, media ponderată, media geometrică, media armonică

• Radical unui număr (de ordin sau de ordin 3), proprietăți ale radicalilor

• Noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operația de logaritmare

• Mulțimea ℂ . Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operații cu numere complexe. Rezolvarea în C a ecuației de gradul al doilea având coeficienți reali

1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcții

2. Prelucrarea informațiilor ilustrate prin graficul unei funcții în scopul deducerii unor proprietăți ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate)

3. Utilizarea de proprietăți ale funcțiilor în trasarea graficelor și în rezolvarea de ecuații

4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situații concrete și reprezentarea prin grafice a unor funcții care descriu situații practice

5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăților algebrice ale funcțiilor

6. Utilizarea echivalenței dintre bijectivitate și inversabilitate în trasarea unor grafice și în rezolvarea unor ecuații algebrice

Notă: Pentru toate tipurile de funcții se vor studia: intersecția cu axele de coordonate, ecuația ƒ (x) = 0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăților algebrice ale funcțiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, convexitate.

Funcții și ecuații

• Funcția putere: ƒ: ℝ→ℝ, ƒ(x)=xⁿ, n∊ℕ, n≥2 și funcția radical: ƒ:D→ℝ, , , unde D=[0,+∞] pentru n par și D=ℝ pentru n impar

• Funcția exponențială ƒ:ℝ→(0,+∞), ƒ(x)=a^x, a∊(0,+∞), a≠1 și funcția logaritmică ƒ:(0,+∞)→ℝ, f(x)=log_ax, a∊(0,+∞),a≠1

• Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcții inversabile: definiție, proprietăți grafice, condiția necesară și suficientă ca o funcție să fie inversabilă

• Funcții trigonometrice directe și inverse

• Rezolvări de ecuații folosind proprietățile funcțiilor:

- Ecuații care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

- Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice, utilizarea unor substituții care conduc la rezolvarea de ecuații algebrice

1. Diferențierea problemelor în funcție de numărul de soluții admise

2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situații-problemă date

3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raționamente de tip inductiv

4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5. Interpretarea unor situații-problemă având conținut practic, cu ajutorul elementelor de combinatorică

6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor probleme în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare

• Mulțimi finite: permutări, aranjamente, combinări, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu n elemente

1. Recunoașterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situații concrete

2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a graficelor și a diagramelor

3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabailităților pentru analiza de caz

4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice, probabilistice a unor probleme practice

5. Analizarea și interpretarea unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicției comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situații studiate

Matematici financiare

• Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

• Culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice

• Interpretarea datelor statistice prin lectura reprezentărilor grafice

• Evenimente aleatoare egal probabile; probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă: Aplicațiile vor fi din domeniul financiar: profit, preț de cost al unui produs, amortizări de investiții, tipuri de credite, metode de finanțare, buget personal, buget familial.

1. Descrierea unor configurații geometrice analitic sau utilizând vectori

2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relațiilor de paralelism

3. Utilizarea informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia și calcularea unor distanțe și a unor arii

4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a

caracteristicilor matematice ale unei configurații geometrice

5. Interpretarea perpendicularității în relație cu paralelismul și minimul distanței

6. Modelarea unor configurații geometrice analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie

• Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan

• Ecuații ale dreptei în plan determinate de un punct și de o direcție dată și ale dreptei determinate de două puncte distincte

• Condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte în plan; linii importante în triunghi, calcularea unor distanțe și a unor arii

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în situații practice

4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici

5. Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE

Matrice

• Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice

• Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți

Determinanți

• Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăți

Sisteme de ecuații liniare

• Matrice inversabile din

• Ecuații matriceale

• Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar

• Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor liniare

• Aplicații: ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și coliniaritatea a trei puncte în plan

1. Caracterizarea unor funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2. Interpretarea unor proprietăți ale funcțiilor cu ajutorul reprezentărilor grafice

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme

4. Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăți cantitative și calitative ale unei funcții

5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcții pentru verificarea unor rezultate și pentru identificarea unor proprietăți

6. Determinarea unor optimuri situaționale prin aplicarea calculului diferențial în probleme practice

Notă: Se utilizează exprimarea "proprietatea lui ...", "regula lui ..." pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonstrație este în afara programei.

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Limite de funcții

• Noțiuni elementare despre mulțimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăți, dreapta încheiată, simbolurile +∞ și -∞

• Limite de funcții: interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct utilizând vecinătăți, limite laterale

• Calculul limitelor pentru funcția de gradul I, funcția de gradul al II-lea, funcția logaritmică, exponențială, funcția putere , funcția radical , funcția raport de două funcții cu grad cel mult 2, cazuri exceptate la calculul limitelor de funcții:

• Asimptotele graficului funcțiilor studiate: asimptote verticale, orizontale și oblice

Funcții continue

• Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuității unei funcții, operații cu funcții continue

• Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale

Funcții derivabile

• Tangenta la o curbă. Derivata unei funcții într-un punct, funcții derivabile

• Operații cu funcții derivabile, calculul derivatelor de ordin I și de ordinul al II-lea pentru funcțiile studiate

• Regulile lui l’Hospital pentru cazurile

Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor

• Rolul derivatei de ordin I și de ordinul al II-lea în studiul funcțiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate

• Reprezentarea grafică a funcțiilor

Competențe specifice

Conținuturi

1. Recunoașterea structurilor algebrice, a mulțimilor de numere, de polinoame și de matrice

2.1. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăților acesteia

2.2. Determinarea și verificarea proprietăților unei structuri algebrice

3.1. Verificarea faptului că o funcție dată este morfism sau izomorfism

3.2. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuațiilor algebrice

4. Explicarea modului în care sunt utilizate, în calcule specifice, proprietățile operațiilor unei structuri algebrice

5.1. Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme practice

5.2. Determinarea unor polinoame sau ecuații algebrice care îndeplinesc condiții date

6.1. Exprimarea unor probleme practice, folosind structuri algebrice sau calcul polinomial

6.2. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

Grupuri

• Lege de compoziție internă, tabla operației

• Grup, exemple: grupuri numerice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n

• Morfism și izomorfism de grupuri

Inele si corpuri

• Inel, exemple: inele numerice (ℤ, ℚ, ℝ, ℂ) ℤ_n

• Corp, exemple: corpuri numerice (ℚ, ℝ, ℂ), ℤ_p, p prim

Inele de polinoame cu coeficienți intr-un corp comutativ (ℚ, ℝ, ℂ, ℤ_p, p prim)

• Forma algebrică a unui polinom, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar)

• Teorema împărțirii cu rest; împărțirea polinoamelor, împărțirea cu X - a, schema lui Horner

• Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout

• Rădăcini ale polinoamelor; relațiile lui Viète pentru polinoame de grad cel mult 3

1. Identificarea legăturilor dintre o funcție continuă și derivata sau primitiva acesteia

2. Stabilirea unor proprietăți ale calculului integral, prin analogie cu proprietăți ale calculului diferențial

3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4. Explicarea opțiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluțiilor

5. Determinarea ariei unei suprafețe plane și a volumului unui corp, folosind calculul integral și compararea rezultatelor cu cele obținute prin aplicarea unor formule cunoscute din geometrie

6. Aplicarea calculului diferențial sau integral în probleme practic

Notă: Se utilizează exprimarea "proprietate" sau "regulă" pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonstrație este în afara programei.

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Primitive (antiderivate)

• Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite.

Primitive uzuale

Integrala definită

• Definirea integralei Riemann a unei funcții continue prin formula Leibniz - Newton

• Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare

• Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma

, grad Q≤2

Aplicații ale integralei definite

• Aria unei suprafețe plane

• Volumului unui corp de rotație

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme a unor noțiuni specifice logicii matematice și/sau a teoriei mulțimilor

2. Transcrierea unui enunț în limbajul logicii matematice sau al teoriei mulțimilor

3. Utilizarea reprezentărilor grafice (diagrame, reprezentari pe axă), a tabelelor de adevăr, pentru efectuarea unor operații

4. Explicitarea caracteristicilor unor mulțimi folosind limbajul logicii matematice

5. Redactarea rezolvării unor probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice și/sau al teoriei mulțimilor

6. Transpunerea unei situații cotidiene în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

Mulțimi și elemente de logică matematică

• Mulțimea numerelor reale: operații algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos; operații cu intervale de numere reale

• Propoziție, predicat, cuantificatori

• Operații logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), corelate cu operațiile și cu relațiile dintre mulțimi (complementară, intersecție, reuniune, incluziune, egalitate)

1. Recunoașterea unor corespondențe care sunt șiruri, progresii aritmetice sau geometrice

2. Reprezentarea în diverse moduri a unor corespondențe, șiruri în scopul caracterizării acestora

3. Identificarea unor formule de recurență pe bază de raționamente de tip inductiv

4. Exprimarea caracteristicilor unor șiruri folosind diverse reprezentări (formule, diagrame, grafice)

5. Deducerea unor proprietăți ale șirurilor folosind diferite reprezentări sau raționamente de tip inductiv

6. Asocierea unei situații-problemă cu un model matematic de tip șir, progresie aritmetică sau geometrică

Șiruri

• Modalități de a descrie un șir; șiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, determinarea termenului general al unei progresii; suma primilor n termeni ai unei progresii

1. Identificarea valorilor unei funcții folosind reprezentarea grafică a acesteia

2. Identificarea unor puncte semnificative de pe graficul unei funcții

3. Folosirea unor proprietăți ale funcțiilor pentru completarea graficului unei funcții pare, impare sau periodice

4. Exprimarea proprietăților unor funcții pe baza lecturii grafice

5. Reprezentarea graficului prin puncte și aproximarea acestuia printr-o curbă continuă

6. Deducerea unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin lectură grafică

Funcții; lecturi grafice

• Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulțimi numerice; condiții algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x= m sau de forma y=m. m∊ℝ

• Funcția: definiție, exemple, exemple de corespondențe care nu sunt funcții, modalități de a descrie o funcție, lectură grafică; egalitatea a două funcții, imaginea unei funcții, graficul unei funcții

• Funcții numerice ƒ:I→ℝ, I interval de numere reale; graficul unei funcții, reprezentarea geometrică a graficului, intersecția graficului cu axele de coordonate, interpretarea grafică a unor ecuații de forma ƒ(x)=g(x); proprietăți ale funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie, paritate/imparitate (simetria graficului față de axa Oy sau față de origine), periodicitate

1. Recunoașterea funcției de gradul I descrisă în moduri diferite

2. Identificarea unor metode grafice pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor, sistemelor de ecuații

3. Descrierea unor proprietăți desprinse din rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor, sistemelor de ecuații și din reprezentarea grafică a funcției de gradul I

4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situații concrete ce se pot descrie prin funcții de gradul I, ecuații, inecuații sau sisteme de ecuații

5. Interpretarea cu ajutorul proporționalității a condițiilor pentru ca diverse date să fie caracterizate cu ajutorul unei funcții de gradul I

6. Rezolvarea cu ajutorul funcțiilor a unei situații-problemă și interpretarea rezultatului

Funcția de gradul I

• Definiție; reprezentarea grafică a funcției ƒ:ℝ→ℝ, ƒ(x)=ax+b, unde a,b∊ℝ, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația ƒ(x)=0

• Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției: monotonie, semnul funcției

• Inecuații de forma ax+b≤0,(<,>,≥), a,b∊ℝ studiate pe ℝ.

• Poziția relativă a două drepte; sisteme de tipul

, a,b,c,m,n,p∊ℝ

1. Diferențierea variației liniare/pătratice prin exemple

2. Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului

3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului (trasarea prin puncte semnificative)

4. Exprimarea proprietăților unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice

5. Utilizarea relațiilor lui Viète pentru caracterizarea soluțiilor și rezolvarea unor sisteme

6. Identificarea unor metode grafice de rezolvare a ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații

Funcția de gradul al II-lea

• Reprezentarea grafică a funcției ƒ:ℝ→ℝ, ƒ(x)=ax²+bx+c, a,b,c∊ℝ, a≠ 0, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația ƒ(x)=0, simetria față de drepte de forma x= m, cu m∊ℝ

• Relațiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma

, cu s,p∊ℝ

1. Recunoașterea corespondenței dintre seturi de date și reprezentări grafice

2. Reprezentarea grafică a unor date diverse în vederea comparării variației lor

3. Utilizarea lecturii grafice pentru rezolvarea de ecuații, inecuații și sisteme de ecuații

4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiții algebrice; exprimarea prin condiții algebrice a unor reprezentări grafice

5. Interpretarea unei configurații din perspectiva poziției relative a unei drepte față de o parabolă

6. Utilizarea lecturilor grafice în vederea optimizării rezolvării unor probleme practice

Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea

• Monotonie; punct de extrem, vârful parabolei, interpretare geometrică

• Poziționarea parabolei față de axa Ox, semnul funcției, inecuații de forma ax²+bx+c≤0 (≥,<,>), cu a,b,c. ∊ℝ, a≠0, interpretare geometrică

• Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de forma ,a,b,c,m,n∊ℝ, interpretare geometrică

1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2. Utilizarea rețelelor de pătrate pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe configurații date

3. Efectuarea de operații cu vectori pe configurații geometrice date

4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie anumite configurații geometrice

5. Identificarea condițiilor necesare pentru efectuarea operațiilor cu vectori

6. Aplicarea calculului vectorial în descrierea proprietăților unor configurații geometrice date

Vectori în plan

• Segment orientat, vectori, vectori coliniari

• Operații cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare, înmulțirea cu un scalar, proprietăți ale înmulțirii cu un scalar, condiția de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

1. Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăților unor configurații geometrice în plan

2. Reprezentarea prin intermediul vectorilor a unei configurații geometrice plane date

3. Utilizarea calcului vectorial sau a metodelor sintetice în rezolvarea unor probleme de geometrie metrică

4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (și invers) a unei configurații geometrice date

5. Determinarea condițiilor necesare pentru coliniaritate, concurență sau paralelism

6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială și sintetică ale aceleiași probleme

Coliniaritate, concurență, paralelism - calcul vectorial în geometria plană

• Vectorul de poziție a unui punct

• Vectorul de poziție a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiții de paralelism)

• Vectorul de poziție a centrului de greutate al unui triunghi (concurența medianelor unui triunghi)

1. Identificarea elementelor necesare pentru calcularea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri

2. Utilizarea unor tabele și a unor formule pentru calcule în trigonometrie și în geometrie

3. Aplicarea teoremelor și a formulelor pentru determinarea unor măsuri (lungimi sau unghiuri)

4. Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei și/sau geometriei a unor probleme practice

5. Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului dreptunghic/oarecare

6. Analizarea și interpretarea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor probleme practice

Aplicații ale trigonometriei în geometrie

• Rezolvarea triunghiului dreptunghic

• Formulele (fără demonstrație): cos(180°-x)=-cos x; sin(180°-x)=sinx

• Modalități de calcul a lungimii unui segment și a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor și teorema cosinusului

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră și a formei de scriere a unui număr real în contexte variate

2. Compararea și ordonarea numerelor reale utilizând metode variate

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali și logaritmi în contexte variate

4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real pentru optimizarea calculelor

5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6. Analizarea validității unor afirmații prin utilizarea aproximărilor, a proprietăților sau a regulilor de calcul

Numere reale

• Numere reale: proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raționale pentru numere reale

• Radical dintr-un număr (ordin 2 sau ordin 3), proprietăți ale radicalilor

• Noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operația de logaritmare

1. Exprimarea relațiilor de tip funcțional în diverse moduri

2. Prelucrarea informațiilor ilustrate prin graficul unei funcții în scopul deducerii unor proprietăți algebrice ale acesteia (monotonie, bijectivitate, semn, convexitate)

3. Utilizarea de proprietăți ale funcțiilor în calcule și aproximări, prin metode diverse

4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situații concrete ce se pot descrie printr-o funcție de o variabilă

5. Interpretarea unor probleme de calcul în vederea optimizării rezultatului

6. Utilizarea echivalenței dintre bijectivitate și inversabilitate în trasarea unor grafice și în rezolvarea unor ecuații

Notă: Pentru toate tipurile de funcții se vor studia: intersecția cu axele de coordonate, ecuația ƒ(x)=0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăților algebrice ale funcțiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, convexitate

Funcții și ecuații

• Funcția putere: ƒ:ℝ→D, ƒ(x)=xⁿ, n∊ℕ, n≥2 și funcția radical: ƒ:D→ℝ, ƒ(x)=, , unde D=[0,+∞) pentru n par și D=ℝ pentru n impar

• Funcția exponențială ƒ: ℝ→(0,+∞), ƒ(x)=a^x, a∊(0,+∞), a≠1 și funcția logaritmică ƒ:(0,+∞) →ℝ, ƒ(x)=loga_ax, a∊(0,+∞)

• Rezolvări de ecuații folosind proprietățile funcțiilor:

- Ecuații care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

- Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice, utilizarea unor substituții care conduc la rezolvarea unor ecuații algebrice

1. Recunoașterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situații concrete

2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor și al diagramelor

3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităților pentru analiza de caz

4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5. Analizarea și interpretarea unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicției comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situații studiate

Matematici financiare

• Probleme de numărare: permutări, aranjamente, combinări

• Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

• Culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice. Interpretarea datelor statistice

• Evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă: Aplicațiile vor fi din domeniul financiar: profit, calcularea prețului de cost al unui produs, amortizări de investiții, tipuri de credite, metode de finanțare, buget personal, buget familial.

1. Descrierea unor configurații geometrice analitic sau utilizând vectori

2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relațiilor de paralelism și de perpendicularitate

3. Utilizarea informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia și calcularea unor distanțe și a unor arii

4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configurații geometrice

5. Interpretarea perpendicularității în relație cu paralelismul și minimul distanței

6. Modelarea unor configurații geometrice analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie

• Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan; coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan

• Ecuații ale dreptei în plan determinată de un punct și de o direcție dată și ale dreptei determinată de două puncte distincte date

• Condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte din plan, calcularea unor distanțe și a unor arii

Competențe specifice

Conținuturi

1. Recunoașterea și diferențierea mulțimilor de numere și a structurilor algebrice

2. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăților acesteia

3. Compararea proprietăților algebrice sau aritmetice ale operațiilor definite pe diverse mulțimi în scopul identificării unor algoritmi

4. Exprimarea proprietăților mulțimilor înzestrate cu operații prin identificarea organizării structurale a acestora

5. Utilizarea similarității operațiilor definite pe mulțimi diferite în deducerea unor proprietăți algebrice

Structuri algebrice

• Legi de compoziție, proprietăți

• Structuri algebrice: monoid, grup, inel, corp.

Exemple: mulțimile ℕ,ℤ,ℤ_n,ℚ,ℝ

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea sa matriceală

2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3. Aplicarea, în situații practice, a algoritmilor de calcul cu matrice

4. Rezolvarea unor sisteme, utilizând metode diferite de rezolvare și compararea acestor metode

5. Stabilirea compatibilității unor sisteme liniare și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

Elemente de calcul matriceal și sisteme de ecuații liniare

Matrice

• Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice

• Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți

Determinanți

• Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăți

Sisteme de ecuații liniare

• Matrice inversabile din . M_n(ℝ),

Ecuații matriceale

• Sisteme de ecuații liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar

• Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare

• Aplicații: ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și caracterizarea coliniarității a trei puncte în plan